Uma extensão algébrica de um corpo é um corpo que é contra-domínio de um homomorfismo injetivo , em todo elemento de F é algébrico em E, ou seja, todo elemento é raiz de um polinômio cujos coeficientes são elementos de E. Esta definição é amplamente utilizada nos estudos de polinômios, notavelmente para a teoria de Galois. Note que a imagem de um polinômio por homomorfismo será um polinômio de mesmo grau; seus coeficientes serão imagem dos coeficientes do polinômio inicial:

Em particular, se é raiz deste polinômio - sabendo-se que um homomorfismo leva o elemento neutro da soma de um corpo no elemento neutro da soma do outro - logo será raiz do polinômio .

é a função inclusão, E é um sub-corpo de F, e todo elemento de F é algébrico em E.

Uma extensão algébrica finita de um corpo é um corpo que é contra-domínio de um homomorfismo injetivo onde o espaço vetorial associado ao corpo é de dimensão finita.

Um dos teoremas mais poderosos da álgebra é aquele que diz, essencialmente, que todo polinômio tem uma raiz. A forma precisa deste teorema é:

, usar a irreducibilidade de p(x) para provar que o anel quociente F = é um corpo e que a função é um homomorfismo injetivo, e provar que, em F, x + < p(x) > é uma raiz de p(x).